[수학Ⅰ]21.다양한 점화식2

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『다양한 종류의 점화식들』

 

지난 포스트에 이어 다양한 점화식들에 대해 살펴보겠습니다!

오늘 다룰 점화식 중에 연립 점화식들도 포함되어 있습니다.

 

 

연립이라는 말은 많이 들어보셨지요?

연립주택, 연립방정식 등등 한자 그대로 연달아 서있는 것을 뜻하는데

두 개 이상의 점화식이 있는 것을 연립점화식이라 합니다!

 

 

그럼 연립점화식은 어떤 종류가 있으며 어떻게 일반항을 구하는지 살펴보겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 점화식 \(a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0\)
• 연립점화식
• 대칭성이 있는 연립점화식
• 연습문제

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우선 연립점화식에 들어가기 전에

연속한 3개의 항으로 이루어진 점화식을 먼저 보겠습니다.

 

 

이전 포스트에는 2개의 항으로 이루어진 점화식을 다루었는데

3개의 경우 어떻게 일반항을 구하는지 살펴보겠습니다!

 

점화식 \(a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0\)

 수열 \({a_{n}}\)의 점화식 \(a_{1}=a\), \(a_{2}=b\), \(a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0\)에 대해 수열 \({a_{n}}\)의 일반항을 구하는 순서는 다음과 같다.

 

(1) 이차방정식 \(x^{2}+px+q=0\)의 해 \(x=\alpha, \beta\) (중근은 \(\alpha=\beta\))를 구한다.

 

(2) \(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})\), \(a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\beta a_{n})\)으로 변형한다.

 

(3) \(a_{n+1}-\alpha a_{n}=b_{n}\)이라 하면 \(b_{n+1}=\beta b_{n}\)

수열 \({b_{n}}\)는 첫 번째 항 \(b_{1}=a{2}-\alpha a_{1}=b-\alpha a\), 공비 \(\beta\)인 등비수열이므로 \(b_{n}=(b-\alpha a)\beta ^{n-1}\)

\(a_{n+1}-\beta a_{n}=c_{n}\)이라 하면 \(c_{n+1}=\alpha c_{n}\)

수열 \({c_{n}}\)는 첫 번째 항 \(c_{1}=a_{2}-\beta a_{1}=b-\beta a\), 공비 \(\alpha\)인 등비수열이므로 \(c_{n}=(b-\beta a)\alpha^{n-1}\)

 

(4) 위의 두 식으로부터 다음을 알 수 있다.

\((\beta-\alpha)a_{n}=b_{n}-c{n}\)

\(\alpha\neq\beta\)이면 \(a_{n}=\cfrac{b_{n}-c_{n}}{\beta-\alpha}=\cfrac{(b-\alpha a)\beta^{n}-(b-\beta a)\alpha^{n-1}}{\beta-\alpha}\)

연립점화식

 연립방정식, 연립부등식 처럼 두 개 이상의 식으로 이루어진 점화식을 연립점화식이라고 합니다.

연립점화식은 어떻게 풀어 일반항을 구하는지 한 번 보실까요?

 

 두 개의 수열 \({a_{n}, b_{n}}\)의 점화식 \(a_{1}=a, b_{1}=b, a_{n+1}=pa_{n}+qb_{n}, b_{n+1}=ra_{n}+sb_{n} (a,b, p, q, r, s\)는 \(n\)에 의존하지 않는 상수고 \((a, b) \neq (0. 0), (p-s)^{2}+4qr>0, r\neq0 )\)에 대해 두 개의 수열\({a_{n}}. {b_{n}}\)의 일반항을 구하는 방법은 다음과 같다.

 

(1) 위의 두 식으로부터 다음을 알 수 있다.

\(a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=(p+r\alpha)a_{n}+(q+s\alpha)b_{n}\)

 

(2) 수열 \({a_{n}+\alpha b_{n}}\)이 공비\((p+r\alpha)\)의 등비수열이 되는 \(\alpha\)를 구한다.

\(a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=(p+r\alpha)(a_{n}+\alpha b_{n})\)

\(=(p+r\alpha)a_{n}+(p\alpha+r\alpha^{2})b_{n}\)

따라서 다음을 알 수 있다.

\(q+s\alpha=p\alpha+r\alpha^2\)

\(r\alpha^{2}+(p-s)\alpha-q=0\)를 만족하는 \(\alpha\)를 구한다.

 

(3) (2)에서 구한 두 개의 \(\alpha\)에 대해 다음을 알 수 있다.

각각 수열\({a_{n}+\alpha b_{n}}\)이 공비\((p+r\alpha)\)의 등비수열이므로 두 개의 관계식을 만들고 두 개의 수열 \({a_{n}}, {b_{n}}\)의 일반항을 구한다.

 

대칭성이 있는 연립점화식

 두 개의 수열 \({a_{n}, b_{n}}\)의 점화식 \(a_{1}=a, b_{1}=b, a_{n+1}=pa_{n}+qb_{n}, b_{n+1}=qa_{n}+pb_{n} (a, b, p, q\)는 \(n\)에 의존하지 않는 상수고 \((a, b) \neq (0. 0), q\neq 0 )\)에 대해 두 개의 수열\({a_{n}}. {b_{n}}\)의 일반항을 구하는 방법은 다음과 같다.

 

 

(1) 위의 두 식으로부터 다음을 알 수 있다.

\(a_{n+1}+b_{n+1}=(p+q)(a_{n}+b_{n})\)

\(a_{n+1}-b_{n+1}=(p-q)(a_{n}-b_{n})\)

 

 

(2) (1)의 두 식으로부터 다음을 알 수 있다.

수열 \({a_{n}+b_{n}}\)는 첫 번째 항 \(a_{1}+b_{1}=a+b\), 공비 \(p+q\)인 등비수열

수열 \({a_{n}-b_{n}}\)는 첫 번째 항 \(a_{1}-b_{1}=a-b\), 공비 \(p-q\)인 등비수열

따라서 다음을 알 수 있다. \(a_{n}+b_{n}=(a+b)(p+q)^{n-1}\) \(a_{n}-b_{n}=(a-b)(p-q)^{n-1}\)

 

 

(3) (2)의 두 식으로부터 다음을 알 수 있다.

\(a_{n}=\cfrac{(a+b)(p+q)^{n-1}+(a-b)(p-q)^{n-1}}{2}\)

\(b_{n}=\cfrac{(a+b)(p+q)^{n-1}-(a-b)(p-q)^{n-1}}{2}\)

연습문제

(1) 4개 이상의 항으로 이루어진 점화식에 대해서도 일반항을 구할 수 있는지 생각해보자.

(2) 연립방정식에서 미지수의 개수만큼 방정식이 있어야 미지수를 풀기 수월하다고 알려져 있다. 연립점화식에 대해서도 그러한지 생각해보자.

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