[수학Ⅰ]18.다양한 수열의 합

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『등차수열, 등비수열 말고 좀 특이한 수열은 없을까?』』

 

등차수열과 등비수열을 이용하여 여러가지 수열을 만들 수 있습니다.

그럼 등차수열과 등비수열이 아닌 다른 수열은 없을까요?

 

 

수열의 종류는 되게 많은데 고등학교 교과과정 범위안에

나오는 수열에 대해 알아보도록 하겠습니다!

그리고 그 수열들의 합에 대해 알아보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 일반항이 등비수열X등차수열인 수열의 합
• 수열의 합과 일반항
• 계차수열과 일반항
• 연습문제

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계차수열은 인접한 두 항의 차로 이루어진 수열이다.

 

일반항이 등비수열X등차수열인 수열의 합

\(p, q, a, r\)를 \(k\)에 의존하지 않는 실수라 하고 \(p\neq0, r\neq1\)이라 하자.

 

\(S_n=\sum\limits_{k=1}^n \left\{(pk+q)\cdot ar^{k-1} \right\}\)

 

\(S_n\)은 다음과 같이 구할 수 있다.

 

(1) \(S_n-rS_n\)를 계산한다.

(2) \((pk+q)\cdot ar^{k-1}=f(k)-f(k-1)\)이라 변형한다.

 

 

 등차수열과 등비수열을 섞어 만든 수열 중에

두 수열의 곱으로 구성된 수열을 생각해볼 수 있습니다.

이 수열의 경우 합은 위와 같이 구할 수 있습니다.

수열의 합과 일반항

 다양한 수열의 일반항과 합에 대해 알아봤는데요.

그럼 일반항과 합은 어떤 관계가 있을까요?

 수열\(a_n\)의 첫 번째 항부터 \(n\)번째 항까지의 합 \(S_n\)에 대해 다음이 성립한다.

 

(1) \(n=1\)일 때 \(a_1=S_1\)

(2) \(n\geq2\)일 때 \(a_n=S_n-S_{n-1}\)

 

여기서 중요한 건 (2)입니다.

\(n\)이 1이상이 아니라 2부터인 것이 포인트입니다.

당연히 \(n\)이 1부터라 생각하실 수 있지만 (1)에서 확실하게 \(n\)은 \(S_1\)인 것을 알 수 있으므로

(2)에서 \(n\)은 2이상이 됩니다.

 

계차수열과 일반항

 이번엔 특이한 수열중에 계차수열이라는 수열에 대해 알아보겠습니다.

계차는 풀어말하면 단계의 차이 인데 이것은 수열의 차로 이루어진 수열을 뜻합니다.

 

 수열 \({a_n}\)의 이웃한 두 항의 차 \(a_{n+1}-a_{n}=b_{n}\) \(n=1, 2, 3, \dots\)를 항으로 하는 수열\({b_n}\)를 수열 \({a_n}\)의 계차수열이라 한다. 수열 \({a_n}\)의 계차수열\({b_n}\)이라 하자. 즉 \(a_{n+1}-a_n=b_n\) \(n=1, 2, 3, \dots\)이라 할 때 \(n\geq2\)일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

\(a_n=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1} b_k\)

 

연습문제

(1) 피보나치 수열에 대해 조사해라.

(2) 실베스터 수열에 대해 조사해라

(3) 페렝 수열에 대해 조사해라.

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