[수학Ⅰ]22.수학적 귀납법의 정의와 예시

반응형

『체인처럼 수학문제를 증명!』

 

오늘 시간은 수학문제를 증명하는 방법중에 하나인 귀납법에 대해 알아보겠습니다!

 

 

귀납법은 체인과 같다고 보시면 되는데요.

체인이 잘 맞물려 있으면 계속 움직이겠죠?

 

 

그것과 마찬가지로 귀납법도 잘 맞물려 있는 것을 증명하면

계속 옳다는 판단을 할 수 있는 증명법입니다!

 

 

그럼 한 번 수학적귀납법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

반응형

---

본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

과학고 수학 내신 1등 후기 보러가기

 

서울대 합격 후기 보러가기

 

---

---

• 수학적 귀납법
• 수학적 귀납법 예시1
• 수학적 귀납법 예시2
• 연습문제

---

이번 시간은 수학적귀납법의 정의를 알아보고

수학적 귀납법의 예시를 알아보도록 하겠습니다.

 

반응형

수학적 귀납법

\(\ulcorner\)모든 자연수 \(n\)에 대해 명제 \(P(n)\)이 성립한다. \(\lrcorner\)를 증명하기 위해 다음을 증명하면 된다.

 

(1) \(n=1\)일 때 명제 \(P(n)\)이 성립한다.

 

(2) \(n=k\)일 때 성립한다고 가정하고 \(n=k+1\)일 때 성립하는 것을 증명한다. 이 증명법을 수학적귀납법이라 한다.

 

 

우선 수학적 귀납법은 명제가 자연수 \(n\)에만 의존하게 되는 것입니다.

앞서 수학적 귀납법을 체인으로 비유했는데 체인은 한 칸, 두 칸 이렇게 셀 수가 있죠?

 

마찬가지로 하나 둘 이렇게 셀 수 있는 자연수로 제한하였습니다.

그럼 자연수 중에 가장 작은 1에 대해 명제가 성립하는 것을 보이고

임의의 자연수 \(n=k\)일 때 성립한다고 가정하고 \(n=k+1\)일 때 성립하는 것을 보이면

자연스럽게 체인처럼 \(n\)이 2, 3, 4, \(\cdots\)일 때 성립하므로 모든 자연수에 대해 성립하는 것을 알 수 있겠죠?

이 방법을 수학적 귀납법이라 합니다.

 

그럼 아래의 예시문제를 통해 수학적귀납법에 대해 알아보도록 하겠습니다.

반응형

수학적 귀납법 예시1

모든 자연수 \(n\)에 대해 다음 명제를 수학적 귀납법으로 증명하여라. $$1 + 2 + \cdots + n = \cfrac{1}{2}n(n+1)$$

 

 

(1) 우선 \(n=1\)일 때 주어진 명제가 성립하는지 확인합니다.

좌변과 우변 모두 1로 성립하는 것을 알 수 있죠?

 

(2) 임의의 자연수 \(k\)에 대해 \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하면 다음이 성립하는 것을 알 수 있습니다. $$1 + 2 + \cdots + k = \cfrac{1}{2}k(k+1)$$

 

(3) 양변에 \(k+1\)을 더하면 다음을 알 수 있습니다. $$1 + 2 + \cdots + k +(k+1) = \cfrac{1}{2}k(k+1)+(k+1)$$ 우변은 다음과 같이 바꿀 수 있습니다. $$ \cfrac{1}{2}(k+1)(k+2) = \cfrac{1}{2}(k+1)\{(k+1)+1\}$$ 위의 식은 \(n=k+1\)일 때 성립하는 것과 같으므로 수학적귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대해 성립하는 것을 알 수 있습니다.

반응형

수학적 귀납법 예시2

모든 자연수 \(n\)에 대해 \(2^{n} \geq 2n\)인 것을 증명하여라.

 

(1) 우선 \(n=1\)일 때 주어진 명제는 좌변과 우변 모두 2로 성립하는 것을 알 수 있습니다.

 

(2) 임의의 자연수 \(k\)에 대해 \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하면 다음이 성립하는 것을 알 수 있습니다. $$2^{k} \geq 2k$$

 

(3) 양변에 2를 곱하면 다음을 알 수 있습니다. $$2^{k+1} \geq 2(k+1)$$ 위의 식은 \(n=k+1\)일 때 성립하는 것과 같으므로 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대해 성립하는 것을 알 수 있습니다.

연습문제

(1) 수학적 귀납법은 자연수 \(n\)에 대해서 명제가 성립하는지 증명하는 문제다. 모든 자연수 \(n\)이 아닌 홀수, 짝수 더 나아가 수열로 특정된 \(n\)에 대해서도 명제가 성립하는 수학적 귀납법을 사용할 수 있을지 생각해 보자.

반응형

최상위권 학생들을 위한 본고사 문제 제작소

본수학 네이버 카페 cafe.naver.com/bornmath

본수학 네이버 블로그 blog.naver.com/flytome91

본수학 유튜브 https://www.youtube.com/@born_math

본수학 문제집 주문하러 가기 https://naver.me/5Luk3pbL

본수학 동영상 강의 보러 가기 https://bornmath.liveklass.com/