[수학Ⅰ]19.점화식의 정의

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『수열에서 항과 항사이를 나타내는 관계식이 있을까?』

 

수열을 나타낼 때는 임의의 \(n\)번째 수를 나타내기 위해 일반항으로 표현합니다.

그럼 일반항을 나타내기 전에 항과 항사이에는 어떤 관계식이 있을까요?

 

 

이 관계식으로부터 일반항을 구할 수 있을까요?

오늘은 점화식의 정의와 등차수열과 등비수열의 점화식에 대해 알아보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 점화식
• 등차수열과 점화식
• 등비수열과 점화식
• 연습문제

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점화식은 항과 항사이의 관계를 나타낸 식이다.

 

점화식

 수열에 대해 이전의 항부터 다음의 항까지 단 하나의 방법으로 정해지는 규칙을 나타낸 등식을 점화식이라 한다. 점화식을 만족하는 수열의 일반항을 점화식의 해라고 한다. 그 해를 구하는 것을 점화식을 푼다라고 한다.

 

점화식은 수열 파트의 꽃이라고 할 수 있습니다.

단순 항과 항사이의 관계식을 나타내지만

그 응용력은 무궁무진 하기 때문이죠!

뿐만아니라 점화식을 푸는 문제가 많으니 꼭 연습을 많이 하셔야 합니다.

 

등차수열과 점화식

대표적인 등차수열의 점화식은 어떤지 한 번 보겠습니다.

 

 수열\(\{a_n\}\)의 점화식 \(a_1=a, a_{n+1}=a_{n}+d\) (\(d\)는 \(n\)에 의존하지 않는 실수)에 대해 수열\(\{a_n\}\)는 첫 번째 항 \(a\), 공차\(d\)인 등차수열이므로 \(a_{n}=a+(n-1)d\)이다.

 

여기서 중요한 건 \(d\)가 \(n\)에 의존하지 않는 것입니다!

의존해버리면 서로 이웃한 항의 차이가 일정하지 않아버리기 때문입니다.

 

등비수열과 점화식

 이번엔 등비수열의 점화식에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 수열 \(\{a_n\}\)의의 점화식\(a_1=a, a_{n+1}=ra_{n}\) (\(r\)는 \(n\)에 의존하지 않는 실수)에 대해 수열\(\{a_n\}\)는 첫 번째 항 \(a\), 공비\(r\)인 등비수열이므로 \(a_{n}=ar^{(n-1)d}\)이다.

 

마찬가지로 공비 \(r\)이 \(n\)에 의존하지 않는 것입니다.

이유는 등차수열과 같이 곱이 일정하지 않아버리기 때문입니다.

 

연습문제

(1) 이전 단원에서 배운 계차수열의 점화식을 구하여라.

 

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