[수학Ⅰ]17.수열의 합

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『수열의 합을 간단한 기호로!』

 

앞서 등차수열과 등비수열의 합을 나타내는 공식에 대해 알아보았습니다.

그럼 등차수열과 등비수열을 넘어 일반적인 수열로 넓혔을 때

합을 나타낼 수 있는 방법이 있을까요?

 

 

우선 일반적인 수열에 대해 합을 나타내는 기호를 정의할 필요가 있습니다!

그 기호가 바로 오늘 배울 시그마의 대문자 \(\Sigma\)입니다.

그럼 시그마의 정의와 특징에 대해 알아볼까요?

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• 합의 기호\(\Sigma\)
• \(\Sigma\)의 성질
• 수열 합의 공식
• 연습문제

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시그마\(\Sigma\)는 수열의 합을 나타내는 기호이다.

 

합의 기호\(\Sigma\)

 수열 \(a_{n}\)에 대해 \(a_p\)로부터 \(a_q\)까지의 합을 다음과 같이 쓴다.

 

\(\sum\limits_{k=p}^q a_k= a_p+a_{p+1}+a_{p+2}+\dots+a_q\)

 

수열의 합을 나타낼 때 위와 같이 작성합니다.

\(\Sigma\)의 아래 부분에는 합이 시작되는 시작점을 나타내며

윗부분에는 합이 끝나는 끝점을 나타냅니다.

물론 위에서는 \(p\leq q\)여야 되는 것을 알 수 있습니다.

 

\(\Sigma\)의 성질

 시그마의 정의와 어떻게 사용하는지에 대해 알아봤습니다.

시그마는 어떤 성질을 가지고 있는지 알아볼까요?

(1) \(\sum\limits_{k=1}^n (a_k+b_k)=\sum\limits_{k=1}^n a_k+\sum\limits_{k=1}^n b_k\)

(2) \(\sum\limits_{k=1}^n (a_k-b_k)=\sum\limits_{k=1}^n a_k -\sum\limits_{k=1}^n b_k\)

(3) \(p\)를 \(k\)와 관계없는 실수라 할 때 다음이 성립한다.

\(\sum\limits_{k=1}^n pa_k=p\sum\limits_{k=1}^n a_k\)

 

위의 성질들은 괄호를 풀어 각각 시그마를 사용할 수 있고

수열에 곱해진 상수를 밖으로 빼어내도 같다는 것을 의미합니다.

위와 같은 성질을 선형(linear)적이라고 합니다.

수열 합의 공식

 앞서 등차수열과 등비수열의 합의 공식에 대해 알아보았습니다.

그럼 이 공식들뿐만 아니라 유용하게 쓰이는 공식들에 대해 알아보도록 하겠습니다!

 

(1) \(\sum\limits_{k=1}^n c=c+c+\cdots+c=cn\)

(2) \(\sum\limits_{k=1}^n k=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

(3) \(\sum\limits_{k=1}^n k^2 =1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

(4) \(\sum\limits_{k=1}^n k^3=1^3+2^3+\cdots+n^3=\{\frac{n(n+1)}{2}\}^2\)

(5) \(\sum\limits_{k=1}^n r^{k-1} =1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}\) \(=\frac{1-r^n}{1-r}=\frac{r^{n-1}}{r-1} (r\neq1)\)

(6) \(\sum\limits_{k=1}^n {f(k+1)-f(k)}=f(n+1)-f(1)\)

(7) \(\sum\limits_{k=1}^n {f(k)-f(k+1)} =f(1) -f(n+1)\)

(8) \(p\)를 정수라 할 때 \(\sum\limits_{k=1}^n f(k-p)=\sum\limits_{k=1-p}^{n-p} f(k)\)

(9) \(\sum\limits_{k=0}^n f(n-k) = \sum\limits_{k=0}^n f(k)\)

 

시그마의 성질과 위의 공식들로부터 다양한 수열의 합을 구할 수 있겠죠?

 

연습문제

(1) \(\Sigma\)의 성질을 증명하여라.

(2) 수열 합의 공식을 증명하여라.

(3) \(\sum\limits_{k=1}^n (ak^3+bk^2+ck+d)\)를 구하여라. 

 

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