[수학Ⅰ]16.등비수열

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『상으로 매일 전 날 받은 쌀의 두 배를 주세요!!!』

 

 

등비수열도 일반항으로 표기가 가능하여 좀 더 간단히도 표기가 가능합니다.

그럼 오늘은 등비수열의 정의와 특징에 대해 알아보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 등비수열
• 등비수열의 일반항
• 등비수열의 합
• 연습문제

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등비수열이란 항과 항사이가 일정한 비로 구성된 수열을 의미합니다.

 

등비수열

  수열 \(a_{n}\)에 대해 각 항에 일정한 수 \(r\)를 곱해 다음의 항이 얻어질 때 이 수열을 등비수열이라 하고 \(r\)를 그 공비라 한다. 이 수열은 다음과 같은 관계식을 갖는다.

 

\(a_{n+1}=ra_n\)

 

 예전 전래동화에 부잣집인 사람에게 보답으로 쌀을 받기로 한 사람이 있었습니다.

대신 조건은 첫 날은 쌀 한 톨 , 둘째날부터는 전 날에 받은 쌀의 개수의 두 배씩 주는 약속이였죠.

부자는 쌀 한 톨이라 봤자 그까지것 얼마겠어? 라는 심정으로 줬는데

아니 이런, 며칠이 지나니깐 곳간이 텅텅비어버렸다는 이야기입니다.

 

이것이 바로 등비수열과 관련된 이야기죠!

쌀 한 톨부터 시작해 두 배씩 늘어나면 당분간은 두 톨, 넷 톨, 여덟 톨 등등 별로 안 줄 것 같지만

시간이 지나면 엄청난 수로 불어나버리죠.

등비수열의 일반항

 등비수열의 정의에 대해 알아봤습니다.

그럼 이런 등비수열을 조금 더 간단히 표기할 수 있을까요?

우리는 간단하게 표기하는 일반항에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

 \(\{a_n\}\)은 첫 번째 항 \(a_1=a\), 공비\(r\)인 등비수열이라 할 때 일반항은 다음과 같다.

\(a_n=ar^{n-1}\)

 

 위의 일반항으로부터 우리가 원하는 임의의 항을 바로 구할 수 있습니다!

 

등비수열의 합

 또 다른 등비수열의 특징은 등비수열의 합을 구할 수 있다는 것입니다.

위의 전래동화에서 총 받은 쌀의 개수를 구할 수 있을까요?

총 받은 쌀의 개수를 구하는 것이 등비수열의 합을 구하는 것과 같습니다!

 첫 번째 항 \(a\), 공비\(r\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫 번째 항부터 제 \(n\)번째 까지의 합을 \(S_n\)이라 하면 다음과 같다.

\(S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}\)

\(r=1\)일 때 \(S_n=an\)

\(r\ne 1\)일 때 \(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\)

 

 

등비수열의 합은 조금 복잡한데요.

공비가 1이냐 아니냐에 따라 구하는 공식이 달라집니다!

 

연습문제

(1) 등비수열의 일반항을 유도하여라.

(2) 등비수열의 합을 유도하여라.

 

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