[수학Ⅰ]12.삼각함수의 성질

『삼각함수의 특징은 무엇일까?』

 

지난 시간에는 삼각함수의 정의에 대해 알아봤습니다!

3가지 함수에 대해 알아봤는데요.

삼각함수의 정의를 배웠으면 당연히 그 다음으로 특징을 알아봐야겠죠?

바로 삼각함수의 특징에 대해서 알아보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 삼각함수의 관계
• 주기함수
• 삼각함수의 그래프
• 연습문제

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이번 포스트에서는 삼각함수의 성질에 대해 알아보도록 하겠습니다!

삼각함수의 관계

(1) \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)

(2) \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}(\cos\theta\neq0)\)

(3) \(1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}(\cos\theta\neq0)\)

(4) \(\frac{1}{\tan^2\theta}+1=\frac{1}{\sin^2\theta}(\sin\theta\neq0)\)

(5) \(k\)를 양의 정수라 하면

\(\cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta\)

\(\sin(\theta+2k\pi)=\sin\theta\)

\(\tan(\theta+2k\pi)=\tan\theta\)

(6) \(\cos(-\theta)=\cos\theta\)

\(\sin(-\theta)=-\sin\theta\)

\(\tan(-\theta)=-\tan\theta\)

(7) \(\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\)

\(\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta\)

\(\tan(\theta+\pi)=\tan\theta\)

(8) \(\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\)

\(\sin(\pi-\theta)=\sin\theta\)

\(\tan(\pi-\theta)=\tan\theta\)

(9) \(\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta\)

\(\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)\cos\theta\)

\(\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}\)

(10) \(\cos(\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin\theta\)

\(\sin(\theta+\frac{pi}{2})=\cos\theta\)

\(\tan(\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\tan\theta}\)  

 

위의 특징들은 삼각함수의 정의를 이용하여 증명할 수 있어요!

주기함수

 그리고 삼각함수의 특징중에 중요한 건 삼각함수가 주기함수라는 거예요!

주기란 똑같은 형태가 같은 시간대로 반복되는 걸 뜻하죠!

함수도 똑같이 같은 구간내에 같은 형태가 반복될 수 있는데 이것을 주기함수라 합니다!

그러면 주기함수의 보다 정확한 수학적 정의에 대해 알아볼까요?

 

주기함수

함수 \(f(x)\)가 0이 아닌 상수\(p\)에 대해 다음이 성립할 때 \(f(x)\)는 \(p\)를 주기로 하는 주기함수라 한다. \(f(x+p)=f(x)\) \(p\)는 무수히 존재하기 때문에 기본적으로 \(p\)중에 양수이며 최소인 것을 주기라 한다.

 

앞서 주기함수란 같은 구간내에 같은 형태가 반복된다고 말씀드렸는데요.

이것을 수학적으로 나타낸 게 \(f(x+p)=f(x)\)입니다!

그리고 무수히 많은 \(p\)중에 양수이며 최소인 것을 주기라 정의했습니다!

삼각함수의 그래프

방금 주기함수에 대해 알아봤습니다!

그럼 삼각함수는 이 주기함수에 해당될까요?

진짜 간단히 생각하면 각도 360도는 0도와 같잖아요?

그럼 당연히 같은 값이므로 같은 결과가 나와야겠죠?

그래서 삼각함수도 당연히 주기함수가 될 것이라고 추측이 가능합니다!

하지만 주기가 360도인지는 확실하지 않죠. 자 그럼 삼각함수의 그래프에 관련하여 알아볼까요?

 

\(\sin\)의 그래프

 

 

\(y=\sin x\)에 대해 다음을 알 수 있다.

(1) 치역은 \(-1\leq y\leq1\)이다.

(2) 주기는 \(2\pi\)이다.

(3) 원점에 관해 대칭이다.

 

\(\cos\)의 그래프

\(y=\cos x\)에 대해 다음을 알 수 있다.

(1) 치역은 \(-1\leq y\leq1\)이다.

(2) 주기는 \(2\pi\)이다.

(3) \(y\)축에 관해 대칭이다.

 

\(\tan\)의 그래프

\(y=\tan x\)에 대해 다음을 알 수 있다.

(1) 치역은 실수전체다.

(2) 점근선의 방정식은 \(x=\frac{pi}{2}+k\pi (k=0, \pm 1,\pm 2, \cdots)\)

(3) 주기는 \(\pi\)이다.

(4) 원점에 관해 대칭이다.

 

  위와 같은 그래프의 특징이 있습니다!

다음 시간에는 보다 심화적인 개념으로 찾아뵙도록 하겠습니다!

 

연습문제

(1) 삼각함수의 관계를 모두 증명하여라.

(2) 부채꼴의 호의 길이와 면적의 공식을 증명하여라.

 

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