[수학Ⅰ]11.삼각법

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『피라미드의 높이는 얼마일까?』

 

 
어느 대기업 면접에서 피라미드의 높이를 구할 수 있나요? 라는 질문이 있었습니다.
 
 
너무 오래된 문제라 지금까지 다양한 방법이 나왔지만
가장 유명하고 간단한 방법이 바로 삼각비를 이용하는 문제입니다!
 
 
낮에 막대기를 하나 세워 높으면 그림자가 생깁니다.
이 그림자와 막대기의 높이의 비율을 생각해 이것을 그대로
피라미드의 그림자에 적용시키면 바로 피라미드의 높이를 구할 수 있겠죠!
 
 
이 삼각비가 조금 있다가 소개할 \(\tan\)입니다! 
tan는 직각삼각형에 대해 높이에 마주하는 각도에 대한 함수로
높이를 아랫변의 길이로 나눈 함수입니다!
 
 
이런 단순한 함수인데 수학사에 있어서 정말 중요한 함수가 되어버렸죠.
tan이외에도 cos, sin함수가 있습니다.
 
 
자 그럼 구체적으로 삼각함수에 대해 본격적으로 알아보도록 하겠습니다!  

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 일반각에서의 삼각법
• 삼각비의 부호
• 특수각의 삼각비
• 연습문제

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  삼각함수란 직각삼각형에 있어서 높이에 마주한 각도에 대한 함수로 직각삼각형의 높이, 빗변, 아랫변에 대한 비율인 함수다.

일반각에서의 삼각법

 좌표평면상에서 원점 \(O\)를 중심으로 하는 반지름 1인 원(단위원)과 중심 \(O\)에서 \(x\)축의 양의 부분과 각 \(\theta\)의 직선과 만나는 교점을 \(P\)라 하면 \(P(\cos\theta,\sin\theta)\)이다. 점 \((1,0)\)에 대해 원의 접선과 직선 \(OP\)의 교점을 \(T\)라 하면 직선 \(OP\)의 기울기는 \(\tan\theta\)이며 \(T(1,\tan\theta)\)이다.
 
  어..?삼각함수는 직각삼각형에 있어서 높이와 마주한 각도에 대한 함수아닌가요??
맞습니다! 위의 정의를 보면 이해하시기 힘드실 수 있지만 아래의 그림을 보면 이해하기 쉬울 겁니다!  
 

 
 
 위의 그림을 보시면 점\(P\)는 빗변이 1이고
각\(\theta\) 직각삼각형의 높이를 나타내고 있습니다.
따라서 \(\cos\theta\)란 아랫변을 빗변으로 나눈 값인데
빗변이 1이기 때문에 \(P\)의 \(x\)좌표가 \(\cos\theta\)가 되는 것을 알 수 있습니다!

 

자 그럼 위의 그림으로부터 \(\sin\)과 \(\tan\)는 어떤 삼각비인지 구할 수 있겠죠?

 

그런데 문제가 있습니다!
삼각형의 내각의 합은 \(180^\cdot\)이고 직각삼각형을 생각해야 하니깐
우리가 생각할 수 있는 각도의 범위는 \(0^\cdot\)부터 \(90^\cdot\)까지 아닌가요?

 

네 맞습니다! 삼각비는 직각삼각형의 비율에 해당되지만
각도란 것은 \(0^\cdot\)부터 \(90^\cdot\)까지 정해진 것이 아니기 때문에
위의 그림에서 1사분면부터 4사분면까지 직각삼각형을 그려 비율로 나타낼 수 있습니다!  
 

삼각비의 부호

 자 방금 전까지 각도는 \(0^\cdot\)부터 \(90^\cdot\)까지만 아니라
모든 실수를 취할 수 있다고 했습니다.

 

그럼 이 각도에 따라 삼각비의 부호는 어떻게 바뀔까요?
바로 아래 그림을 보시죠!
 

 

 각도를 기준으로 1사분면부터 4사분면에 대해 삼각비의 부호가 달라져요!
처음 부호를 외울 때 『얼싸안고』라고 외웠던 기억이 있네요!

 

1사분면은 얼(all) 즉 모두 양수, 2사분면은 싸(sin) 사인함수만 양수,
3사분면은 안(tan) 탄젠트함수만 양수, 4사분면은 코(cos)코사인함수만 양수 이런식으로 말이죠!

 

여러분들은 어떻게 외우실 건가요?
위에 내용처럼 외우시면 좀 빠르게 외우실 거라 생각되요!
 

특수각의 삼각비

위에서 삼각비의 정의와 부호에 대해 알아봤습니다!
그럼 삼각비의 값을 알아볼차례죠?

 

하지만 아쉽게도 모든 각도에 대해 삼각비의 값을 알아보는 건 어려운 일입니다.
그래도 특수한 각도에 대해서만 삼각비를 구할 수 있는데 바로 보시죠!
 
특수각의 삼각비
 

 
특수각의 삼각비는 삼각함수의 정의, 직각삼각형의 성질을 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다!
다음 단원은 각 삼각함수에 대해 좀 더 자세히 알아보도록 하겠습니다!
 

연습문제

(1) 특수각에 대해 삼각함수의 값을 확인하여라.
 

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