[수학Ⅰ]13.삼각함수의 성질2

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『그래프의 대칭엔 무엇이 있을까?』

 

함수에 대해서는 여러가지 알아볼게 있습니다.

함수가 연속인지 미분가능한지 등등

그 중에 함수가 어떤 대칭인지 확인하는 것도 매우 중요한 특징입니다.

 

 

대표적인 대칭이 축을 대칭으로 하는 것과 점을 대칭으로 하는 방법입니다!

축을 대칭으로 하는 함수는 기준 축을 \(y\)축으로

점을 대칭으로 하는 함수는 기준 점을 원점으로 약속했습니다!

 

 

왜 하필 \(y\)축과 원점이냐고 물으실 수 있습니다!

단순히 말씀드리면 임의의 축과 점을 기준으로 할 수 있지만

평행이동하면 \(y\)축과 원점에 겹치기 때문입니다!

 

 

그리고 "왜 \(x\)축 대칭은 없어요?"라고 하실 수 있는데

애초에 \(x\)축에 대칭이면 함수의 정의에 어긋나죠!

 

 

그래서 오늘은 두 대칭함수를 일컫는 용어인 우함수, 기함수에 대해 알아보도록 하겠습니다!

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본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!

 

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• 우함수와 기함수
• 좌표평면에 대한 확대 축소
• 삼각함수 주기의 공식
• 연습문제

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지난번 포스트에 이어 삼각함수의 특징을 알아보기 전에 대칭함수를 일컫는

우함수와 기함수에 대해 알아보도록 하겠습니다!

 

우함수와 기함수

 \(x\)의 함수 \(f(x)\)에 대해  \(f(-x)=f(x)\)가 성립할 때 \(f(x)\)는 우함수라 한다. 우함수 \(y=f(x)\)의 그래프는 \(y\)축에 대해 대칭이다. \(x\)의 함수 \(f(x)\)에 대해  \(f(-x)=-f(x)\)가 성립할 때 \(f(x)\)는 기함수라 한다. 기함수 \(y=f(x)\)의 그래프는 원점에 대해 대칭이다.  

 

 

우함수와 기함수 말이 너무 어려운데요...

우는 짝수를 나타내는 偶, 기는 홀수를 나타내는 奇를 사용합니다!

그래도 우함수랑 기함수 용어가

어려우신 분들을 위해 제가 외운 방법을 소개해드리겠습니다!!

 

 

우라는 글자를 보시면 가운데 축을 중심으로 대칭이죠?

따라서 \(y\)축에 대칭인 함수를 우함수라 외우시면 됩니다!

참 쉽죠~~? 당연히 기함수는 반대가 되겠죠??

 

 

좌표평면에 대한 확대 축소

 방금 함수의 대칭에 대해 알아봤습니다!

대칭이라는 특징을 알아봤고 또 남은 특징은 바로 함수를 늘였다 줄였다 하는 것입니다!

 

이것을 확대 축소라고 하죠!

그럼 확대 축소에 대한 개념을 바로 보시겠습니다~

 

(1) 좌표평면상에 대해 점\((a,b)\)를 \(y\)축을 기준으로 \(x\)축 방향으로 \(m\)배 \((m>0)\), \(x\)축을 기준으로 \(y\)축 방향으로 \(n\)배 \((n>0)\)로 확대 또는 축소하면 점 \((ma,nb)\)가 된다.

 

(2) 좌표평면상에 대해 \(y=f(x)\)를 \(y\)축을 기준으로 \(x\)축 방향으로 \(m\)배 \((m>0)\), \(x\)축을 기준으로 \(y\)축 방향으로 \(n\)배 \((n>0)\)로 확대 또는 축소하면 \(\frac{y}{n}=f(\frac{x}{m})\) 즉 \(y=nf(\frac{x}{m})\)이 된다. 특히 \(m=n\)이면 원점을 중심으로 하는 확대 또는 축소가 된다.

 

삼각함수의 주기의 공식

 지난시간에 주기함수에 대해 알아봤습니다!

그리고 방금 함수의 대칭, 확대와 축소에 대해 알아봤습니다.

그럼 삼각함수도 확대와 축소를 진행하면 주기가 어떻게 변화되는지 알아볼까요?

 

 \(a, b, r\)를 상수라 하고 \(a>0, r\neq0\)이라 하자.

(1) \(f(x)=r \sin (ax+b)\)의 주기는 \(\frac{2\pi}{a}\)이다.

(2) \(f(x)=r \cos (ax+b)\)의 주기는 \(\frac{2\pi}{a}\)이다.

(3) \(f(x)=r \tan (ax+b)\)의 주기는 \(\frac{\pi}{a}\)이다.

 

여기서 주목해야 할 건 \(b\)는 주기에 변화를 주지 않았다는 거예요!

\(b\)는 평행이동하는 변수이기 때문에 주기에는 전혀 영향을 끼치지 않아요.

 

 

삼각함수의 특징에 대해 알아봤습니다!

다음에는 수열이라는 새로운 파트에 진입해보겠습니다!

 

연습문제

(1) 삼각함수의 주기의 공식에서 \(r\)이 주기에 영향을 끼치지 않는 이유를 설명하여라.

 

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