『벌로 1부터 100까지 합을 구해와!!!!』
지난번 시간에는 일반적인 수열의 정의에 대해 알아보았습니다!
오늘부터는 수열의 규칙이 있는 경우에 대해 알아보려고 합니다!
그 중 첫 번째가 등차수열입니다!
등차는 같다는 의미의 등과 차이의 차를 사용하는 수열
즉, 등차수열이란 항과 항사이의 차가 일정한 수열을 뜻합니다.
앞서 공부한 것처럼 등차수열도 일반항으로 표기가 가능하여 좀 더 간단히도 표기가 가능합니다.
그럼 오늘은 등차수열의 정의와 특징에 대해 알아보도록 하겠습니다!
본문 읽기 전에 본수학으로 공부한 후기도 읽어주세요!
등차수열이란 항과 항사이가 일정한 차이로 구성된 수열을 의미합니다.
등차수열
수열 \(a_{n}\)에 대해 각 항에 일정한 수 \(d\)를 더해 다음의 항이 얻어질 때 이 수열을 등차수열이라 하고 \(d\)를 그 공차라 한다. 이 수열은 다음과 같은 관계식을 갖는다.
\(a_{n+1}=a_n+d\)
등차수열이란 앞서 말한 것처럼 항과 항사이가 일정해야 합니다.
위에서 언급한 \(d\)가 등차수열의 정의에서 언급한 일정한 차이입니다.
현재 우리는 실수까지만 다루고 있긴 하지만 차이 \(d\)는 복소수로 연장이 가능합니다.
임의의 항과 항사이의 차가 일정하므로 임의의 자연수 \(n\)에 대해 \(a_{n+1}-a_n=d\)이 성립해야 합니다.
따라서 등차수열의 정의를 위와 같이 표기할 수 있습니다.
등차수열의 일반항
등차수열의 정의에 대해 알아봤습니다.
그럼 이런 등차수열을 조금 더 간단히 표기할 수 있을까요?
우리는 간단하게 표기하는 일반항에 대해 알아보도록 하겠습니다.
\(a_n=a+(n-1)d\)
첫 번째 항을 일본어를 직역한 초항(初項)이라고도 합니다.
위의 일반항으로부터 우리가 원하는 임의의 항이 바로 나오겠죠?
등차수열의 합
또 다른 등차수열의 특징은 등차수열의 합을 구할 수 있다는 것입니다.
이것은 그 유명한 가우스의 1부터 100까지의 합을 구하는 방법과 똑같습니다!
1부터 100까지인 수열과 반대로 100부터 1까지인 수열을 생각하여 두 수열의 합을 반으로 나눠 계산한 것입니다!
\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)
위의 식을 보시면 \(d\)가 없는 것을 확인할 수 있습니다!
등차수열의 합을 구할 때는 첫 번째 항과 마지막 항 그리고 항의 개수만 알면 바로 구할 수 있게 됩니다!
연습문제
(1) 등차수열의 일반항을 유도하여라.
(2) 등차수열의 합을 유도하여라.
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