[수학Ⅰ]1.지수와 로그 연습문제

『지수와 로그 연습문제』

 

지수와 로그 연습문제입니다.

연습문제 모두 본수학(수학Ⅰ)에서 발췌된 문제입니다.

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• 연습문제1
• 연습문제2
• 연습문제3

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연습문제1

 양의 실수 \(x, y\)가 다음의 방정식을 만족한다고 하자.

 

$$\cfrac{9^{4x}+9^{y^{2}+1}}{6}=3^{4x+y^{2}}$$

 

 

다음의 물음에 답하여라.

(1) \(y^2\)를 \(x\)를 이용하여 나타내어라.

(2) 양의 실수 \(x, y\)가 위의 방정식과 \(1-\cfrac{x}{y}>0\)를 만족하면서 움직일 때 다음 값의 최댓값을 구하여라.

 

$$\cfrac{1}{\log_{1+\cfrac{x}{y}}4}+\cfrac{1}{\log_{1-\cfrac{x}{y}}4}$$

 

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연습문제2

 다음의 물음에 답하여라.

 

(1) \(a, b, c, x, y, z, M\)은 양의 실수라 하자. \(\cfrac{x}{a}, \cfrac{y}{b}, \cfrac{z}{c}\)가 모두 \(M\)이하일 때 다음이 성립하는 것을 보여라.

 

$$\cfrac{x+y+z}{a+b+c}\leq M$$

 

(2) \(\log_{2}5\)와 \(\log_{3}5\)의 대소관계를 구하여라.

 

(3) \(n\)이 양의 정수일 때 다음이 성립하는 것을 보여라.

 

$$1< \cfrac{1+\log_{2}5+(\log_{2}5)^n}{1+\log_{3}5+(\log_{3}5)^n} <2^{n} $$

 

 

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연습문제3

  \(a, b\)는 \(a\geq b, 4b>a, ab>4\)를 만족하는 자연수라 하자. 삼각형\(ABC\)에 대해 \(AB=2, BC=\log_{2}a, CA=\log_{2}b\)라 하자. 다음의 물음에 답하여라.

 

(1) 삼각형 \(ABC\)의 둘레의 길이가 \(4+\log_{2}3+\log_{2}5\)가 되는 자연수의 순서쌍 \((a, b)\)를 모두 구하여라.

 

(2) (1)에서 구한 자연수의 순서쌍\((a, b)\)에 대해 \(AB\times BC \times CA\)의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

 

 

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