[확률과 통계]표본평균의 기댓값과 표준편차, 대수의 법칙 심화개념

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표본평균의 기댓값과 표준편차, 대수의 법칙

안녕하세요. 본수학 저자입니다.

오늘은 표본평균의 기댓값, 표준편차에 대해 알아보도록 하겠습니다.

평균의 기댓값이라니 조금 이상하지 않나요?

이전 시간에 평균과 기댓값은 조금 다른 의미로 사용된다고 말씀드렸습니다.

오늘 어떻게 다른지 한 번 알아보도록 하겠습니다.

목차

• 1. 표본평균과 표본표준편차
• 2. 표본평균의 기댓값과 표준편차
• 3. 대수의 법칙
• 오늘의 학습 정리

1. 표본평균과 표본표준편차

1.1 표본평균과 표본표준편차란?

순열은 순서대로 열을 세운다는 뜻입니다.

표본평균과 표본표준편차의 정의

모집단에서 추출한 크기 \(n\)인 표본\(\{X_{1}, X_{2}, \cdots , X_{n}\}\)를 하나의 데이터라 간주할 때 그 평균값 \(\bar{X}\), 분산 \(S^{2}\), 표준편차 \(S\)를 각각 표본평균, 표본분산, 표본표준편차라 한다.즉 다음과 같다. \(\bar{X}=\cfrac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n}\) \(S=\sqrt{\cfrac{(X_{1}-\bar{X})^{2}+(X_{2}-\bar{X})^{2}+\cdots+(X_{n}-\bar{X})^{2}}{n}}\)

평균(Mean)과 기댓값(Expectation)의 차이는 여기서 알 수 있습니다. 평균은 \(n\)개의 표본을 추출했을 때 그것들의 합을 \(n\)으로 나눈 값입니다. 즉 평균에서는 확률적 요소가 안들어가요! 엄밀히 말하면 확률이 \(\cfrac{1}{n}\)으로 균일하게 분포되어 있다고 볼 수 있어요 수학 점수 반 평균이라고 하면 모든 점수를 더해서 학생 수로 나누는 것을 생각하시면 됩니다. 그런데 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 뽑는 방법은 무지하게 많잖아요? 예를 들어 학생 100명의 수학성적을 알아보기 위해 우선 10명을 뽑아 10명의 수학성적을 보는 방법은 여러 가지입니다. 즉 표본평균 \(\bar{X}\)는 여러가지 값을 취하는 확률변수라는 뜻이죠! 많은 학생들이 헷갈리는 부분인데 평균이라고 해서 상수로 생각하는 학생들이 많은데 표본평균은 표본을 뽑는 방법에 따라 달라지기 때문에 이것은 명백한 확률변수입니다.

2. 표본평균의 기댓값과 표준편차

2.1 표본평균의 기댓값과 표준편차

앞서 표본평균은 확률변수라고 배웠습니다. 그러면 당연히 기댓값과 표준편차가 있겠죠?

표분평균 \(\bar{X}\)의 기댓값과 표준편차

모평균 \(m\), 모표준편차 \(\sigma\)인 모집단에서 크기가 \(n\)인 무작위 표본을 추출할 때 표본평균 \(\bar{X}\)의 기댓값과 표준편차는 다음과 같다. 표본평균 \(\bar{X}\)의 기댓값 \(E(\bar{X})=m\) 표본평균 \(\bar{X}\)의 표준편차 \(\sigma(\bar{X})=\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

【증명】

모집단이 충분히 크면 처음에 추출한 요소가 나중에 추출될 요소에 끼치는 영향은 적어진다. 따라서 실제 표본조사는 복원추출이며 확률변수(표본) \(X_{1}, X_{2}, \cdots , X_{n}\)는 서로 독립이라 할 수 있다. 이 때 다음을 알 수 있다.

\( \begin{align}
\displaystyle E(\bar{X}) & = E\left(\cfrac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n}\right) \\
& = \frac{E(X_{1})+E(X_{2})+\cdots+E(X_{n})}{n} \\
& = \overbrace{\cfrac{m+m+\cdots+m}{n}}^{\text{n개}} \\
& = \cfrac{nm}{n}\\
& = m
\end{align} \)

\( \begin{align}
\displaystyle V(\bar{X}) & = V\left(\cfrac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n}\right) \\
& = \frac{V(X_{1})+V(X_{2})+\cdots+V(X_{n})}{n^{2}} \\
& = \overbrace{\cfrac{\sigma^{2}+\sigma^{2}+\cdots+\sigma^{2}}{n^{2}}}^{\text{n개}} \\
& = \cfrac{n\sigma^{2}}{n^{2}}\\
& = \cfrac{\sigma^{2}}{n}
\end{align} \)

모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 뽑는 모든 방법을 확률변수라 할 때 그 평균이 모평균과 같다는 것입니다! 크기가 \(n\)인 표본을 뽑는 모든 방법을 다 더해보면 각각의 표본이 뽑히는 횟수가 동일하게 때문에 표본평균의 평균은 모평균과 같습니다.

3. 대수의 법칙

3.1 대수의 법칙이란?

대수는 말 그대로 큰 수라는 뜻입니다.

대수의 법칙

표본평균 \(\bar{X}\)는 \(n\)이 커지면 커질수록 모평균에 가까운 값을 취하게 된다. 이것을 대수의 법칙이라 하고 표본평균으로부터 모평균을 추정가능 한 것을 나타내고 있다.

예를 들어 어느 공장에서 1000개의 물건을 생산하는데 불량품의 개수를 확인하려고 합니다. 그럼 표본 100개를 뽑아 불량품을 찾는 것과 1000개를 뽑아 불량품을 찾는 것과 어느 것이 더 정확할까요? 당연히 표본개수가 많은 1000개를 뽑는 경우가 더 정확하다고 볼 수 있겠죠. 이처럼 표본의 개수가 늘어나면 모평균과 같아지는 것을 대수의 법칙이라 합니다.

오늘의 학습 정리

표본평균 정리

【표본평균과 표본표준편차】

모집단에서 임의로 표본을 뽑았을 때의 그것의 평균과 표준편차를 표본평균, 표본표준편차라 한다.

 

【표본평균의 기댓값과 표준편차】

모평균 \(m\), 모표준편차 \(\sigma\)인 모집단에서 크기가 \(n\)인 무작위 표본을 추출할 때 표본평균 \(\bar{X}\)의 기댓값과 표준편차는 \(\bar{X}\)의 기댓값 \(E(\bar{X})=m\), \(\sigma(\bar{X})=\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)이다.

 

【대수의 법칙】

표본의 크기가 커지면 표본평균이 모평균에 가까워지는 것을 대수의 법칙이라 한다.

 

경우의 수의 가장 기본적인 원소의 개수와 그에 따른 여러가지 정리에 대해 알아봤습니다. 다음 시간부터는 본격적인 경우의 수 단원이 시작되므로 오늘의 내용을 꼭 숙지해주시길 바라겠습니다.