『이 공식도 외워두면 편해요!』
지난 시간에 몇 개의 적분 공식을 외워두면 편하다고 말씀드렸습니다!
그 응용버전으로 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적 공식도 외워두면 진짜 편해요!
정적분의 기하학적 의미는 면적을 뜻한다고 공부했는데 그걸 활용하면
곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적도 구할 수 있죠.
그럼 한 번 어떠한 공식들이 있는지 보도록 하겠습니다!
다시 한 번 중요한 부분은
수학2에서 다루는 함수는 모두 다항함수라는 점입니다!
다항함수는 함수의 중요한 특징을 갖고 있기 때문입니다!
포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적
좌표평면에 대해 다음 포물선과 직선이 서로 다른 두 개의 교점을 가지고 그 \(x\)좌표를 \(\alpha, \beta (\alpha<\beta)\)라 하자. $$y=ax^{2}+bx+c (a\neq0)$$ $$y=mx+n$$ 이 때 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적을 \(S\)라 하면 다음과 같다. $$S=\cfrac{\vert a \vert}{6}(\beta-\alpha)^{3}$$
포물선과 직선이 두 점에서 만날 때의 면적입니다!
공식을 보면 직선의 변수 \(b, c, m, n\)의 영향을 안 받는 것을 알 수 있습니다.
두 개의 포물선으로 둘러싸인 도형의 면적
좌표평면에 대해 다음 두 개의 포물선이 서로 다른 두 개의 교점을 가지고 그 \(x\)좌표를 \(\alpha, \beta (\alpha<\beta)\)라 하자. $$y=ax^{2}+bx+c (a\neq0)$$ $$y=px^{2}+qx+r (p\neq0)$$ 이 때 두 포물선으로 둘러싸인 도형의 면적을 \(S\)라 하면 다음과 같다. $$S=\cfrac{\vert a-p \vert}{6}(\beta-\alpha)^{3}$$
두 개의 포물선으로 둘러싸인 도형의 면적은
포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적으로부터 쉽게 유추해낼 수 있습니다.
마찬가지로 공식은 직선의 변수들의 영향을 안 받는 것을 알 수 있습니다.
포물선과 포물선의 접선과 \(y\)축에 평행한 직선으로 둘러싸인 도형의 면적
좌표평면에 대해 포물선 \(y=ax^{2}+bx+c (a\neq0) \)를 \(C\), \(C\)상의 \(x=\alpha\)에 대한 점선을 \(l\), \(y\)축에 평행한 직선 \(x=\beta (\alpha\neq\beta)\)를 \(m\)이라 하자. 이 때 \(C, l, m\)으로 둘러싸인 도형의 면적을 \(S\)라 하면 다음과 같다. $$S=\cfrac{\vert a \vert}{6}(\beta-\alpha)^{3}$$
공식이 다 비슷비슷해보입니다!
이유는 결국 직선과 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이라는 맥락으로 같기 때문이죠!
연습문제
(1) 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적을 증명하고 그로부터 두 개의 포물선으로 둘러싸인 도형의 면적의 공식을 유추해내라.
(2) 포물선과 포물선의 접선과 \(y\)축에 평행한 직선으로 둘러싸인 도형의 면적을 증명하여라.
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