[수학Ⅱ]19.적분공식-포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이

 

『이 공식도 외워두면 편해요!』

 

지난 시간에 몇 개의 적분 공식을 외워두면 편하다고 말씀드렸습니다!

그 응용버전으로 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적 공식도 외워두면 진짜 편해요!

 

 

정적분의 기하학적 의미는 면적을 뜻한다고 공부했는데 그걸 활용하면

곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적도 구할 수 있죠.

그럼 한 번 어떠한 공식들이 있는지 보도록 하겠습니다!

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• 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적
• 두 개의 포물선으로 둘러싸인 도형의 면적
• 포물선과 포물선의 접선과 $y$축에 평행한 직선으로 둘러싸인 도형의 면적
• 연습문제

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다시 한 번 중요한 부분은 

수학2에서 다루는 함수는 모두 다항함수라는 점입니다!

 

다항함수는 함수의 중요한 특징을 갖고 있기 때문입니다!

 

포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적

 

좌표평면에 대해 다음 포물선과 직선이 서로 다른 두 개의 교점을 가지고 그 $x$좌표를 $\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$라 하자. $$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$$ $$y=mx+n$$ 이 때 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적을 $S$라 하면 다음과 같다. $$S=\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$$

 

포물선과 직선이 두 점에서 만날 때의 면적입니다!

공식을 보면 직선의 변수 $b,c,m,n$의 영향을 안 받는 것을 알 수 있습니다.

 

두 개의 포물선으로 둘러싸인 도형의 면적

 좌표평면에 대해 다음 두 개의 포물선이 서로 다른 두 개의 교점을 가지고 그 $x$좌표를 $\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$라 하자. $$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$$ $$y=p{x}^2+qx+r(p\ne 0)$$ 이 때 두 포물선으로 둘러싸인 도형의 면적을 $S$라 하면 다음과 같다. $$S=\frac{|a-p|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$$

 

두 개의 포물선으로 둘러싸인 도형의 면적은

포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적으로부터 쉽게 유추해낼 수 있습니다.

마찬가지로 공식은 직선의 변수들의 영향을 안 받는 것을 알 수 있습니다.

 

포물선과 포물선의 접선과 $y$축에 평행한 직선으로 둘러싸인 도형의 면적

 좌표평면에 대해 포물선 $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$를 $C$, $C$상의 $x=\alpha$에 대한 점선을 $l$, $y$축에 평행한 직선 $x=\beta (\alpha \ne \beta )$를 $m$이라 하자. 이 때 $C,l,m$으로 둘러싸인 도형의 면적을 $S$라 하면 다음과 같다. $$S=\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$$

 

공식이 다 비슷비슷해보입니다!

이유는 결국 직선과 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이라는 맥락으로 같기 때문이죠!

 

연습문제

(1) 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 면적을 증명하고 그로부터 두 개의 포물선으로 둘러싸인 도형의 면적의 공식을 유추해내라.

(2) 포물선과 포물선의 접선과 $y$축에 평행한 직선으로 둘러싸인 도형의 면적을 증명하여라.

 

 

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